Question

已知△ABC中，A（1，1），B（m，

m

），C（4，2），1＜m＜4．求m为何值时，△ABC的面积S最大．

Answer 1

分析：由两点间的距离公式求出AC的距离，由两点式写出直线AC的方程，再由点到直线的距离公式求出点B到直线AC的距离，代入三角形面积公式后利用配方法求使三角形ABC面积取最大值时的m的值．

解答：解：∵A（1，1），C（4，2），∴|AC|=

(4-1)2+(2-1)2

=

10

．
由两点式得直线AC的方程为

y-1

2-1

=

x-1

3-1

，即x-3y+2=0．
又B（m，

m

），根据点到直线的距离公式，点B到直线AC的距离为：
d=

|m-3 m +2|

10

．
∴S△ABC=

1

2

|AC|d=

1

2

|m-3

m

+2|=

1

2

|(

m

-

3

2

)2-

1

4

|．
又∵1＜m＜4，∴1＜

m

＜2，
∴当

m

=

3

2

，即m=

9

4

时，S最大．
故当m=

9

4

时，△ABC面积最大．

点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了直线方程的两点式，训练了利用配方法求函数最值，是基础题．