题目内容
有人玩掷硬币走跳棋的游戏,已知硬币出现正反面为等可能性事件,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第100站,一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋向前跳一站(从k到k+1),若掷出反面,棋向前跳两站(从k到k+2),直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时,该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为Pn.(1)求P0、P1、P2的值;
(2)求证:Pn-Pn-1=-
(Pn-1-Pn-2),其中n∈N,2≤n≤99;
(3)求P99及P100的值.
(1)解：棋子开始在第0站为必然事件,
∴P0=1.
第一次掷硬币出现正面,棋子跳到第1站,其概率为,
∴P1=
.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑:
①前两次掷硬币都出现正面,其概率为
;
②第一次掷硬币出现反面,其概率为
.
∴P2=
+
=
.
(2)证明:棋子跳到第n(2≤n≤99)站的情况是下列两种,而且也只有两种:
①棋子先到第n-2站,又掷出反面,其概率为
Pn-2;
②棋子先到第n-1站,又掷出正面,其概率为
Pn-1.
∴Pn=
Pn-2+
Pn-1.
∴Pn-Pn-1=-
(Pn-1-Pn-2).
(3)解:由(2)知,当1≤n≤99时,数列{Pn-Pn-1}是首项为P1-P0=-
,公比为-
的等比数列.
∴P1-1=-
,P2-P1=(-
)2,P3-P2=(-
)3,…,Pn-Pn-1=(-
)n.
以上各式相加,得Pn-1=(-
)+(-
)2+…+(-
)n,
∴Pn=1+(-
)+(-
)2+…+(-
)n=
［1-(-
)n+1］(n=0,1,2,…,99).
∴P99=
［1-(
)100］,
P100=
P98=
·
［1-(-
)99］=
［1+(
)99］.
练习册系列答案
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，棋盘上标有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从n到n+1），若掷出反面，棋子向前跳两站（从n到n+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营），或跳到第100站（失败集中营）时该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为P（n）；
（Pn-1-Pn-2），其中n∈N，2≤n≤99；