Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD
又∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∴B₁B⊥面ABCD
∴B₁B⊥AC又因为BD∩B₁B=B
所以AC⊥面B₁BD
又∵B₁D?面B₁BD
∴AC⊥B₁D
（2）连接DC₁，DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影
∵B₁D⊥平面ACE且CE?平面ACE
∴B₁D⊥CE
∵DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影
∴CE⊥DC
在平面CC₁D₁D中如图所示∠C₁DC=∠CED，

∴△C₁DC∽△CED
∴即
∴2CD²=CC₁²
∴即
故的值为．．
分析：（1）AC⊥BD且B₁B⊥AC又因为BD∩B₁B=B所以AC⊥面B₁BD，因为B₁D?面B₁BD，所以AC⊥B₁D．
（2）因为B₁D⊥CE且DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影，所以CE⊥DC，可得∠C₁DC=∠CED∴△C₁DC∽△CED，根据相似得到．
点评：证明线线垂直一般先证明线面垂直（把其中一条线作为垂线，另一条在平面内即可证得线线垂直）；解决比例关系得关键是由题中的垂直关系找到相似关系，进而得到相似比，则得到题中要求的结果．