Question

已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列．
（1）若a₅=b₅，q=3，求数列{a_n•b_n}的前n项和；
（2）若存在正整数k（k≥2），使得a_k=b_k．试比较a_n与b_n的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，，
故，
所以a_n=1+20（n-1）=20n-19，
令，①
则，②
①-②得，==（29-20n）•3ⁿ-29，
所以．
（2）因为a_k=b_k，所以1+（k-1）d=q^k-1，即，
故，
又 ，
所以
=
=，
（ⅰ）当1＜n＜k时，由q＞1知，

=＜0；
（ⅱ）当n＞k时，由q＞1知，

=（q-1）²q^k-2（n-k）＞0，
综上所述，当1＜n＜k时，a_n＞b_n；当n＞k时，a_n＜b_n；当n=1时，a_n=b_n．
分析：（1）由q=3，b₁=1可求得b₅，从而得到a₅，由a₁=1及通项公式可求得a_n，利用错位相减法即可求得数列{a_n•b_n}的前n项和；
（2）由a_k=b_k，即1+（k-1）d=q^k-1，得，，作差b_n-a_n变形，然后分1＜n＜k时，当n＞k时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；
点评：本题考查等差数列、等比数列的综合、数列求和，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度较大．