Question

已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为，过点M（0，）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆定义可知2a=，由此可得a值，再由离心率可得c值，由a²=b²+c²可求b值；
（2）设l的方程为y=kx-，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则对于任意的k∈R，•=0恒成立，联立直线l与椭圆方程，消掉y得x的方程，由韦达定理及向量的数量积运算可把•=0化为关于k的恒等式，从而可得m的方程组，解出即可．
解答：解：（1）因为离心率为，又2a=，∴a=，c=1，故b=1，故椭圆的方程为；
（2）设l的方程为y=kx-，
由得（2k²+1）x²-kx-=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x_1•x₂=，
假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则，，
•=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x₁x₂+（kx₁-）（ kx₂-）-m（kx₁-+kx₂-）+m²
=（k²+1）x₁x₂-k（+m）•（x₁+x₂）+m²+m+
=-k（+m）•+m²+m+
=，
由假设得对于任意的k∈R，•=0恒成立，即，解得m=1，
因此，在y轴上存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为（0，1）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查向量的有关运算，考查学生分析解决问题的能力．