题目内容
已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两点．
①求实数k的取值范围；
②求线段MN的中点轨迹方程；
③求证：
•
为定值；
④若O为坐标原点，且
•
=12，求k的值．
①求实数k的取值范围；
②求线段MN的中点轨迹方程；
③求证：
| AM |
| AN |
④若O为坐标原点，且
| OM |
| ON |
①过点A（0，1）斜率为k的直线l的方程为：y=kx+1，
当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d=
=r=1，化简得3k2-8k+3=0，解得：k=
，
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：
＜k＜
；
②把直线方程与圆方程联立得
，消去y得到（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1和x2为（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x=
=
，同理消去x得到关于y的一元二次方程（1+k2）y2-（2+4k+6k2）y+12k2+4k+1=0，
得到纵坐标y=
=
，
则线段MN的中点轨迹方程为：
；
③
=（x1，y1-1），
=（x2，y2-1），所以
•
=x1x2+（y1-1）（y2-1）=（1+k2）x1x2=7为常数．
④
•
=x1x2+y1y2=
+
=12，即12k2+4k+8=12（1+k2），解得k=1．
当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d=
| |2k-2| | ||
|
4±
| ||
| 3 |
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：
4-
| ||
| 3 |
4+
| ||
| 3 |
②把直线方程与圆方程联立得
|
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1和x2为（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x=
| x1+x2 |
| 2 |
| 2(1+k) |
| 1+k2 |
得到纵坐标y=
| y1+y2 |
| 2 |
| 1+2k+3k2 |
| 1+k2 |
则线段MN的中点轨迹方程为：
|
③
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
④
| OM |
| ON |
| 7 |
| 1+k2 |
| 12k2+4k+1 |
| 1+k2 |
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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如图，已知过点A（0，1）的直线l与抛物线C：y=x2交于M，N两点，又抛物线C在M，N两点处的两切线交于点B，M，N两点的横坐标分别为x1，x2．