Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

x

=（2a+c，b），

y

=（cosB，cosC），若

x

⊥

y

．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=

3

，求a+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

x

⊥

y

，得

x

•

y

=0，代入整理可得（2a+c）cosB+bcosC=0，结合sinA=sin（B+C），及sinA≠0，可求cosB，进而可求B
（2）由余弦定理得3=a²+c²+ac，即3=（a+c）²-ac，由基本不等式

a+c

2

≥

ac

可求a+c的最大值

解答：解 （1）由

x

⊥

y

，得

x

•

y

=0，得（2a+c）cosB+bcosC=0，…（2分）
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
又sinA=sin（B+C），得2sinAcosB+sinA=0，…（4分）
因为sinA≠0，所以cosB=-

1

2

，B=

2π

3

                     …（6分）
（2）由余弦定理得3=a²+c²+ac，即3=（a+c）²-ac，（a，c＞0）． …（8分）
因为

a+c

2

≥

ac

得-ac≥-

(a+c)2

4

，
所以3≥（a+c）²-

(a+c)2

4

，…（10分）
故（a+c）²≤4，a+c≤2，得a+c的最大值为2                 …（14分）

点评：本题以向量数量积的性质：

a

⊥

b

 

a

•

b

=0为载体，主要考查了三角形的正弦定理，内角和定理及和差角公式的综合应用，余弦定理及基本不等式在求解最值中的应用．