Question

【题目】设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）
A.f（x）在（0， ）单调递增
B.f（x）在（ ， ）单调递减
C.f（x）在（ ， ）单调递增
D.f（x）在（ ，π）单调递增

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）= [ sin（ωx+φ）+ cos（ωx+φ）]= sin（ωx+φ+ ），

∵函数的最小正周期为2π，

∴T= =π，解得ω=2，

即f（x）= sin（2x+φ+ ），

∵f（﹣x）=f（x），

∴函数f（x）为偶函数，则φ+ = +kπ，

即φ= +kπ，

∵|φ|＜ ，∴当k=0时，φ= ，

即f（x）= sin（2x+ + ）= sin（2x+ ）= cos2x，

由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，

即kπ﹣ ≤x≤kπ，k∈Z，

故函数的递增区间为[kπ﹣ ，kπ]，k∈Z，

由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，

即kπ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

故函数的递减区间为[kπ，kπ+ ]，k∈Z，

则当k=1时，函数递增区间为[ ，π]，

则f（x）在（ ，π），

故选：D

【考点精析】利用两角和与差的正弦公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两角和与差的正弦公式：．