题目内容

已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定义：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，
1
2
），则
1
2x
+
2
y
的最小值为______，此时f（M）=（______．
∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，
∴|
AB
||•
AC
|=4
∴S△ABC=
1
2
|
AB
||•
AC
|sin30°=1
∵x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，f（M）=（x，y，
1
2
），
∴x+y=
1
2

∴
1
2x
+
2
y
=2（x+y）（
1
2x
+
2
y
）=2（
1
2
+2+
y
2x
+
2x
y
）≥2(
5
2
+2
y
2x
•
2x
y
=9
当且仅当
y
2x
=
2x
y
，即y=2x=
1
3
时，取等号，此时，
1
2x
+
2
y
的最小值为9，f（M）=(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
故答案为：9，(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
练习册系列答案
相关题目
已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
1
2
，x，y，则
1
x
+
4
y
的最小值是（　　）
A、20B、18C、16D、9
已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定义f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，则f（x，y，z）的最小值是
 
．
已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为
1
2
，x，y，则
1
x
+
4
y
的最小值为
 
．
已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定义：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，
1
2
），则
1
2x
+
2
y
的最小值为
9
9
，此时f（M）=（
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
．
已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9
．

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