Question

已知A（x₁，y₁），B（1，y₀），C（x₂，y₂）是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的三点，F为椭圆的左焦点，且|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论．

Answer 1

分析：线段AC的垂直平分线过定点(

1

4

，0)．利用焦半径公式及|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，可得ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化为x₁+x₂=2．设线段AC的中点坐标为（1，m），①若直线AC的斜率不存在，则不符合题意．②当直线AC的斜率存在为k时，利用“点差法”可得

1

4

+

mk

3

=0，即mk=-

3

4

．可知k≠0．利用点斜式可得线段AC的垂直平分线方程为y-m=-

1

k

(x-1)，化为y=-

1

k

x+

1

k

+m，即y=-

1

k

x+

1+mk

k

，把mk=-

3

4

代入即可证明．

解答：解：线段AC的垂直平分线过定点(

1

4

，0)．
下面给出证明：
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
∴ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化为x₁+x₂=2．
设线段AC的中点坐标为（1，m），若直线AC的斜率不存在，则不符合题意．
当直线AC的斜率存在为k时，由

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，相减可得

x 2 1 - x 2 2

4

+

y 2 1 - y 2 2

3

=0，
∴

1

4

+

mk

3

=0，∴mk=-

3

4

．可知k≠0．
∵线段AC的垂直平分线方程为y-m=-

1

k

(x-1)，化为y=-

1

k

x+

1

k

+m，即y=-

1

k

x+

1+mk

k

，
∴y=-

1

k

x+

1

4k

，即y=-

1

k

(x-

1

4

)，当x=

1

4

时，y=0，
因此线段AC的垂直平分线过定点(

1

4

，0)．

点评：熟练掌握椭圆的焦半径公式、等差数列的定义、分类讨论的思想方法、线段的垂直平分线方程、过定点问题等是解题的关键．