Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，由f（-x）=-f（x），即可求得k的值；
（Ⅱ）由f（1）=

3

2

，可解得a=2，于是可得f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x），令t=2^x-2^-x，则g（x）=h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，t∈∈[

3

2

，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）_min=-2，即可求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（-x）=-f（x），即a^-x-（k-1）a^x=-a^x+（k-1）a^-x，
即（k-1）（a^x+a^-x）-（a^x+a^-x）=0，（k-2）（a^x+a^-x）=0，
∵x为任意实数，a^x+a^-x＞0，
∴k=2．
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a^x-a^-x，
∵f（1）=

3

2

，
∴a-

1

a

=

3

2

，解得a=2．
故f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x），
令t=2^x-2^-x，则2^2x+2^-2x=t²+2，由x∈[1，+∞），得t∈[

3

2

，+∞），
∴g（x）=h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，t∈∈[

3

2

，+∞），
当m＜

3

2

时，h（t）在[

3

2

，+∞）上是增函数，则h（

3

2

）=-2，

9

4

-3m+2=-2，
解得m=

25

12

（舍去）．
当m≥

3

2

时，则f（m）=-2，2-m²=-2，解得m=2，或m=-2（舍去）．
综上，m的值是2．

点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．