Question

下列命题中正确的是

③④

（填上你认为所有正确的选项）
①空间中三个平面α，β，γ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
②空间中两个平面α，β，若α∥β，直线a与α所成角等于直线b与β所成角，则a∥b．
③球O与棱长为a正四面体各面都相切，则该球的表面积为

π

6

a²；
④三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB．

Answer 1

分析：①根据面面垂直的几何特征可以判断真假，也可举反例说明；
②a与b平行或异面，平行是两个角的方向相同，异面是两个角的方向不同，从而可判定②的真假
③作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积，从而可判定③的真假；
④设P在面ABC的射影为P′，然后利用三垂线定理可证明．

解答：解：①若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与平面β可能平行也可能相交，如一本书打开立在桌面上此时两平面相交，故①错误；
②空间中两个平面α，β，若α∥β，直线a与α所成角等于直线b与β所成角，则a与b平行或异面，平行是两个角的方向相同，异面是两个角的方向不同，故②不正确；
③如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：a；
所以OE为内切球的半径，BF=AF=

3 a

2

BE=

3 a

3

，所以AE=

a2-( 3 a 3 )2

=

6 a

3

，
BO²-OE²=BE²，（

6 a

3

-OE）²-OE²=（

3 a

3

）²
所以 OE=

6 a

12

球的表面积为：4π•OE²=

π

6

a²故③正确；
④设P在面ABC的射影为P′
∵PA⊥BC，PB⊥AC
∴P′A⊥BC，P′B⊥AC
连接P′C
∵三角形的三个高相交于一点
∴P′C⊥AB
∴PC⊥AB故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，正四面体的内切球的表面积，是一道典型题目，考试常考题，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．