Question

【题目】已知函数，.

（1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且；

（2）若当时，不等式恒成立，求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论；

（2）当时，不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立，

设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可.

（1），

令，则，

所以在区间上是增函数，

则，所以在区间上是增函数.

又因为，

，

所以在区间上有且仅有一个零点，且.

（2）由题意，在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

当时，；

当时，恒成立，

设（），

所以.

由（1）可知，，使，

所以，当时，，当时，，

由此在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以.

又因为，

所以，从而，

所以.令，，

则，

所以在区间上是增函数，

所以，故.