题目内容

已知函数f(x)=2sin(2x+
π
6
)，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈(
π
4
，
3π
4
]时，求f（x）的值域．
分析：（1）由正弦函数的周期公式T=
2π
ω
（ω＞0）可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
即可求得其单调增区间；
（2）当x∈（
π
4
，
3π
4
]时，可求得2x+
π
6
∈（
2π
3
，
5π
3
]，继而可求得f（x）的值域．
解答：解：（1）∵f（x）=2sin（2x+
π
6
），
∴其最小正周期T=
2π
2
=π；
∴由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
（k∈Z），
∴函数的增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z），
（2）∵x∈（
π
4
，
3π
4
]，
∴2x+
π
6
∈（
2π
3
，
5π
3
]，
∴-1≤sin（2x+
π
6
）＜
3
2
．
∴-2≤2sin（2x+
π
6
）＜
3
．
∴x∈（
π
4
，
3π
4
]时f（x）=2sin（2x+
π
6
）的值域为[-2，
3
）．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查复合三角函数的单调性，考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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