Question

设函数f(x)=

lim

n→∞

xn-1

xn+1+1

，则其值域为

[-1，1）

．

Answer 1

分析：根据|x|＜1时

lim

n→∞

xn=0，对f(x)=

lim

n→∞

xn-1

xn+1+1

分|x|＜1，x=1、|x|＞1进行讨论，根据极限的运算法则，即可求得结果．

解答：解：函数f(x)=

lim

n→∞

xn-1

xn+1+1

的定义域为{x|x≠-1}，
当|x|＜1时，f(x)=

lim

n→∞

xn-1

xn+1+1

=

lim n→∞ (xn-1)

lim n→∞ (xn+1+1)

=-1；
当x=1时，f(x)=

lim

n→∞

xn-1

xn+1+1

=0；
当|x|＞1时，f(x)=

lim

n→∞

xn-1

xn+1+1

=

lim

n→∞

1 - 1 xn

x + 1 xn

=

1

x

∈（-1，1），且

1

x

≠0，
综上所述，函数f(x)=

lim

n→∞

xn-1

xn+1+1

的值域为[-1，1）．
故答案为：[-1，1）．

点评：本题考查极限及其运算，当|x|＜1时

lim

n→∞

xn=0，是解题的突破口，对于|x|＞1时，转化为f(x)=

lim

n→∞

xn-1

xn+1+1

=

lim

n→∞

1 - 1 xn

x + 1 xn

是解题的关键，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．