Question

在△ABC中，B=2C，cosC=

3

4

，

AC

•

AB

=

27

2

（1）求cosA的值．（2）求边BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据cosB=cos2C求出cosB的值，进而得出sinB的值，然后根据cosA=cos[π-（B+C）]=-cos（B+C），由余弦的两角和与差公式得出结果即可；
（2）首先根据向量积求出bc的值，然后根据正弦定理求出b和c的值，再由余弦定理得出结果．

解答：解：（1）cosB=cos2C=2cos²c-1=

1

8

∴sinB=

3 7

8

∵cosC=

3

4

得sinC=

7

4

∴cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）=

9

16

（2）由

AC

•

AB

=

27

2

得bc•cosA=

27

2

即bc=24
又

b

sinB

=

c

sinC

，即b=

3

2

cb=6，c=4
∴a²=b²+c²-2bccosA=36+16-27=25∴a=5，即BC=5

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系以及余弦的两角和与差公式，（1）问中要注意cosA=cos[π-（B+C）]的运用，属于中档题．