Question

 (本小题满分15分)

数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为 ，且，求证：对任意实数（是常数，

＝2．71828）和任意正整数，总有 2；

（3） 正数数列中，．求数列中的最大项．

Answer 1

（1）解：由已知：对于，总有 ①成立

∴   （n ≥ 2）②  

①--②得∴

∵均为正数，∴   （n ≥ 2） ∴数列是公差为1的等差数列                

又n=1时，，解得=1∴．（）    

（2）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤．

∴

（3）解：由已知  ，

        易得　       猜想 n≥2 时，是递减数列． 

令

∵当∴在内为单调递减函数．

由．∴n≥2 时，是递减数列．即是递减数列．

又 ，∴数列中的最大项为．