Question

定义在（-1，1）上的函数f（x），对任意的x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；且当x∈（-∞，0）时，f（x）＞0，回答下列问题：
（1）判断函数f（x）在（-1，1）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）的单调性，并说明理由；
（3）若f(

1

5

)=

1

2

，试求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，y=-x，即可得出结论；
（2）利用函数单调性的证明步骤，可得结论；
（3）证明f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，代入计算，可得结论．

解答：解：（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，∴f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．    …4
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1）且设x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，则

x1-x2

1-x1x2

＜0
∴f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0∴f(x1)＞f(x2)
∴函数在给定区间上递减．                …8
（3）f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
∴f(

1

2

)-f(

1

5

)=f(

1

3

)，f(

1

3

)-f(

1

11

)=f(

1

4

)，f(

1

4

)-f(

1

19

)=f(

1

5

)
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=2f(

1

5

)=1…12．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．