Question

设函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2-(a+1)x
①当a=1时，求函数f（x）的极值；
②若f（x）在[

2

3

，+∞)上是递增函数，求实数a的取值范围；
③当0＜a＜2时，f(x)在[1，4]上的最大值为

16

3

，求f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

分析：①因为f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2-(a+1)x，所以f'（x）=x²-ax-（a+1）…（1分）因为a=1，所以f'（x）=x²-x-2．令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=2列表讨论，能求出函数的极值．
②因为f（x）在[

2

3

，+∞)上是递增函数，所以x²-ax-（a+1）≥0在[

2

3

，+∞)上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．
③令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=a+1，列表讨论，能求出f（x）在区间[1，4]上的最小值．

解答：解：①因为f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2-(a+1)x
所以f'（x）=x²-ax-（a+1）…（1分）
因为a=1，所以f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x
所以f'（x）=x²-x-2…（2分）
令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=2…（3分）
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
y'	+	0	-	0	+
y	增	极大值	减	极小值	增

当x=-1时取得极大值，为

7

6

；
当x=2时取得极小值，为-

10

3

…（5分）
②因为f（x）在[

2

3

，+∞)上是递增函数，
所以f'（x）≥0在[

2

3

，+∞)上恒成立，…（6分）
即x²-ax-（a+1）≥0在[

2

3

，+∞)上恒成立．a（x+1）≤x²-1
解得a≤-

1

3

…（8分）
③令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=a+1
列表如下：

x	[1，a+1）	a+1	（a+1，4]
y'	-	0	+
y	减	极小值	增

由上表知当x=1或4时f（x）有可能取最大值，…（9分）
令f(1)=

16

3

解得a=-4不符合题意舍．…（10分）
令f(4)=

16

3

解得a=1…（11分）
因为a=1，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x
所以f'（x）=x²-x-2
令f'（x）=0得，x₁=-1，x₂=2…（12分）
列表如下：

x	[1，2）	2	（2，4]
y'	-	0	+
y	减	极小值	增

当x=2时取得最小值，为-

10

3

…（14分）

点评：本题考查函数的极值，实数的取值范围和函数的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．