Question

已知M=

.

1 2 2 1

.

，β=

.

1 7

.

，计算M⁵β．

Answer 1

分析：分别求出特征值所对应的特征向量，然后将向量

β

用两特征向量线性表示，根据公式M⁵

β

=M⁵（4

α1

-3

α2

）=4（M⁴

α1

）-3（M⁵

α2

）=4

λ

5 1

α1

-3

λ

5 2

α2

，进行求解即可．

解答：解：矩阵M的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=（λ-3）（λ+1）
由f（λ）=0，得λ₁=3，λ₂=-1，从而求得对应的一个特征向量分别为

α1

=

1   1

，

α2

=

1   -1

． 
令

β

=m

α1

+n

α2

所以求得m=2，n=-3．
M⁵

β

=M⁵（4

α1

-3

α2

）
=4（M⁴

α1

）-3（M

5

α2

）
=4

λ

5 1

α1

-3

λ

5 2

α2

=4×35

1   1

-3（-1）⁵

1   -1

=

975   969

．

点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．