Question

【题目】如图，正方形，直角梯形，直角梯形所在平面两两垂直， ，且， .

（1）求证： 四点共面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，利用平行四边形可证明， ，根据平行的传递性，可得，从而四边形是平行四边形，问题得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标求平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求出.

试题解析：

（1）证明：方法1：如图，

取的中点，连接，

∵在正方形中， ， ，

在直角梯形中， ， ，

∴， ，即四边形是平行四边形，

∴，

∵在直角梯形中， ，即四边形是平行四边形，

∴，

由上得，即四边形是平行四边形，

∴四点共面．

方法2：由正方形，直角梯形，直角梯形所在平面两两垂直，

易证： 两两垂直，建立如图所示的坐标系，则

∵，

∴，即四边形是平行四边形，

故四点共面．

（2）解：设平面的法向量为，

∵，

则令，则，

设平面的法向量为，且，

则 令，则，

∴设二面角的平面角的大小为，则．