Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝α(0＜α＜)．

(1)求MN的长．

(2)当α为何值时，MN的长最小？

(3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP＝NQ，即MNQP是平行四边形．∴MN＝PQ 　　由已知CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1 　　∴AC＝BF＝，CP＝BQ＝a 　　MN＝PQ＝＝＝(0＜a＜2＝ 　　(2)由(1)MN＝所以，当a＝时，MN＝ 　　即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为． 　　(3)取MN的中点G，连结AG、BG． 　　∵AM＝AN，BM＝BN，G为MN的中点． 　　∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α． 　　又AG＝BG＝，所以，由余弦定理有： cosα＝＝－ 　　故所求二面角为α＝π－arccos．