Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）设AC∩BD=O，连OE、AE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中利用余弦定理，即可求出AC与PB所成角的余弦值；
（2）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，求出A、B、C、D、P、E的坐标，设N（0，y，z），利用空间互相垂直的向量数量积为零，建立关于x、y的方程组，求出点N的坐标为（0，

3

6

，1），即可得到N到AB、AP的距离分别为1和

3

6

．

解答：解：（1）设AC∩BD=O，连OE、AE，则OE∥PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．
在△AOE中，AO=1，OE=

1

2

PB=

7

2

，AE=

1

2

PD=

5

2

，
∴cos∠EOA=

7 4 +1- 5 4

2× 7 2 ×1

=

3 7

14

．
即AC与PB所成角的余弦值为

3 7

14

．
（2）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则可得A（0，0，0）、B（0，

3

，0）、C（1，

3

，0）、
D（1，0，0）、P（0，0，2）、E（

1

2

，0，1），
依题设N（0，y，z），则

NE

=（

1

2

，-y，1-z），由于NE⊥平面PAC，
∴

NE • AP =0 NE • AC =0

，化简得

2-2z=0 1 2 - 3 y=0

，可得y=

3

6

，z=1
因此，点N的坐标为（0，

3

6

，1），
从而侧面PAB内存在一点N，当N到AB、AP的距离分别为1和

3

6

时，NE⊥平面PAC．

点评：本题给出特殊四棱锥，求异面直线所成的角并探索线面垂直问题，主要考查了异面直线的所成角，以及点到线的距离的计算，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于中档题．