题目内容
（2012•东城区二模）已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左焦点F1（-1，0），长轴长与短轴长的比是2：
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：
+
为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
分析：（Ⅰ）由长轴长与短轴长的比是2：
，c=1，结合a2=b2+c2求出a2，b2，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）分直线m的斜率存在且不等于0和斜率不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接与椭圆方程联立求线段的长，斜率存在且不等于0时射出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式，借助于根与系数关系求证．
| 3 |
（Ⅱ）分直线m的斜率存在且不等于0和斜率不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接与椭圆方程联立求线段的长，斜率存在且不等于0时射出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式，借助于根与系数关系求证．
解答：（Ⅰ）解：由已知得
解得：a=2，b=
．
故所求椭圆方程为
+
=1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知F1（-1，0），当直线m斜率存在时，设直线m的方程为：y=k（x+1）（k≠0）．
由
，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．
由于△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2=-
，x1x2=
，
|AB|=
=
=
．
同理|CD|=
．
所以
+
=
+
=
=
．
当直线m斜率不存在时，此时|AB|=3，|CD|=4，
+
=
+
=
．
综上，
+
为定值
．
|
解得：a=2，b=
| 3 |
故所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知F1（-1，0），当直线m斜率存在时，设直线m的方程为：y=k（x+1）（k≠0）．
由
|
由于△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2=-
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
|AB|=
| (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] |
=
(1+k2)[(-
|
| 12(1+k2) |
| 3+4k2 |
同理|CD|=
| 12(1+k2) |
| 3k2+4 |
所以
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 3+4k2 |
| 12(1+k2) |
| 3k2+4 |
| 12(1+k2) |
| 7(1+k2) |
| 12(1+k2) |
| 7 |
| 12 |
当直线m斜率不存在时，此时|AB|=3，|CD|=4，
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 12 |
综上，
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 7 |
| 12 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了弦长公式的应用，考查了计算能力，属压轴题．
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