题目内容
设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则
的最小值为
|
| a+b |
| ab |
6+4
| 2 |
6+4
．| 2 |
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=2且y=4时，z最大值=2a+4b=1．由此再利用基本不等式求最值，可得
的最小值．
| a+b |
| ab |
解答：解：作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的△ABO及其内部，其中A（2，4），B（
，0），0为坐标原点
设z=F（x，y）=ax+by，将直线l：z=ax+by进行平移，
由a＞0且b＞0得直线l的斜率为负数，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（2，4）=2a+4b=1
因此，
=（2a+4b）（
+
）=6+
+
∵a＞0且b＞0，
+
≥2
=4
，∴
≥6+4
，
当且仅当
=
时，即a=
、b=
时等号成立
∴
的最小值为6+4
．
故答案为：6+4
|
得到如图的△ABO及其内部，其中A（2，4），B（
| 2 |
| 3 |
设z=F（x，y）=ax+by，将直线l：z=ax+by进行平移，
由a＞0且b＞0得直线l的斜率为负数，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（2，4）=2a+4b=1
因此，
| a+b |
| ab |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 4b |
| a |
| 2a |
| b |
∵a＞0且b＞0，
| 4b |
| a |
| 2a |
| b |
|
| 2 |
| a+b |
| ab |
| 2 |
当且仅当
| 4b |
| a |
| 2a |
| b |
2-
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
∴
| a+b |
| ab |
| 2 |
故答案为：6+4
| 2 |
点评：本题给出二元一次不等式组，求在已知目标函数的最大值为1的情况下求
的最小值，着重考查了基本不等式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
| a+b |
| ab |
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