Question

14．设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）若f（1）＞0，求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集．
（2）已知f（1）=$\frac{3}{2}$，若存在x∈[1，+∞），使得a^2x+a^-2x-4mf（x）=0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是奇函数，求出k得值，若f（1）＞0，求出a的取值范围，结合函数单调性即可求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集．
（2）利用换元法，结合一元二次方程的性质进行求解即可．

解答 解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，
所以k-1=0，所以k=1．经检验，符合题意．
故f（x）=a^x-a^-x．-------------------------（1分）
（1）因为f（1）＞0，所以$a-\frac{1}{a}$＞0，又a＞0且a≠1，所以a＞1，----------------（2分）
而当a＞1时，y=a^x和y=-a^-x在R上均为增函数，所以f（x）在R上为增函数，--------------（3分）
原不等式化为：f（x²+2 x）＞f（4-x），
所以x²+2 x＞4-x，即x²+3 x-4＞0，----------------（4分）
所以x＞1或x＜-4，
所以不等式的解集为{ x|x＞1或x＜-4}．----------------（6分）
（2）法一：因为f（1）=$\frac{3}{2}$，所以$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
所以a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），----------------（7分）
a^2x+a^-2x-4mf（x）=2^2x+2^-2x-4m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4m（2^x-2^-x）+2．----------------（8分）
令t=h（x）=2^x-2^-x（x≥1），
则t=h（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以h（x）≥h（1）=$\frac{3}{2}$，即t≥$\frac{3}{2}$．----------------（9分）
即方程t²-4mt+2=0在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$有解，----------------（10分）
记g（t）=t²-4mt+2，
∵g（0）=2，故只需$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ g（\frac{3}{2}）≥0\\ 2m≥\frac{3}{2}.\end{array}\right.$或$g（\frac{3}{2}）≤0$，----------------（11分）
解得$m≥\frac{17}{24}$
所以实数m的取值范围$[{\frac{17}{24}，+∞}）$．----------------（12分）
法二：因为f（1）=$\frac{3}{2}$，所以$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
所以a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），----------------（7分）
a^2x+a^-2x-4mf（x）=2^2x+2^-2x-4m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4m（2^x-2^-x）+2．----------------（8分）
令t=h（x）=2^x-2^-x（x≥1），
则t=h（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以h（x）≥h（1）=$\frac{3}{2}$，即t≥$\frac{3}{2}$．----------------（9分）
故存在x∈[1，+∞），使得a^2x+a^-2x-4mf（x）=0成立等价于方程t²-4mt+2=0在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$有解，
等价于$\frac{{{t^2}+2}}{4t}=m$在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$有解，----------------（10分）
记g（t）=$\frac{{{t^2}+2}}{4t}=\frac{1}{4}（t+\frac{2}{t}）$，因为函数g（t）在$[{\sqrt{2}，+∞}）$上单调递增，
故g（t）在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$上单调递增，
所以当$t=\frac{3}{2}$时，g（t）有最小值$\frac{17}{24}$，所以$g（t）≥\frac{17}{24}$，----------------（11分）
所以$m≥\frac{17}{24}$．----------------（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的应用，利用换元法将函数转化为一元二次方程是解决本题的关键．