题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （a∈R），若对于任意的X∈N^*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是________．

a≥- $\text{[math]}$
分析：由于x∈N^*，可将f（x）= $\text{[math]}$ ≥3转化为a≥- $\text{[math]}$ -x+3，再令g（x）=- $\text{[math]}$ -x+3（x∈N^*），利用其单调性可求得g（x）_max，从而可得答案．
解答：∵x∈N^*，
∴f（x）= $\text{[math]}$ ≥3恒成立?x²+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，
∴a≥- $\text{[math]}$ -x+3恒成立，
∴a≥g（x）_max，
令g（x）=- $\text{[math]}$ -x+3（x∈N^*），再令h（x）=x+ $\text{[math]}$ （x∈N^*），
∵h（x）=x+ $\text{[math]}$ 在（0，2 $\text{[math]}$ ]上单调递减，在[2 $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增，而x∈N^*，
∴h（x）在x取距离2 $\text{[math]}$ 较近的整数值时达到最小，而距离2 $\text{[math]}$ 较近的整数为2和3，
∵h（2）=6，h（3）= $\text{[math]}$ ，h（2）＞h（3），
∴当x∈N^*时，h（x）_min= $\text{[math]}$ ．又g（x）=- $\text{[math]}$ -x+3=-h（x）+3，
∴g（x）_max=- $\text{[math]}$ +3=- $\text{[math]}$ ．
∴a≥- $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查函数恒成立问题，依题意得到a≥- $\text{[math]}$ -x+3是关键，考查转化思想，构造函数的思想，考查函数的单调性的应用，综合性强，思维度深，属于难题．