Question

（2012•武昌区模拟）在平面x0y内，不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，不等式组

x-2y≥0 x+3y≥0

确定的平面区域为V．
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”．在区域U任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（Ⅱ）在区域U每次任取1个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题可知平面区域U的整点为13个，整点在平面区域V的有3个，由此能求出这些整点中恰有2个整点在区域V的概率．
（Ⅱ）依题可得，平面区域U的面积为π•2²=4π，平面区域V与平面区域U相交部分的面积为

1

8

×π×22=

π

2

．在区域U任取1个点，则该点在区域V的概率为

π

8π

=

1

8

，随机变量X的可能取值为：0，1，2，3．分别求出其概率，由此能够求出X的分布列和EX．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题可知平面区域U的整点为：（0，0），（0，±1），（0，±2），
（±1，0），（±2，0），（±1，±1），共13个，
上述整点在平面区域V的为：（0，0），（1，0），（2，0）共有3个，
∴P=

C 2 3 C 1 10

C 3 13

=

15

143

．…（4分）
（Ⅱ）依题可得，平面区域U的面积为π•2²=4π，
平面区域V与平面区域U相交部分的面积为

1

8

×π×22=

π

2

．
在区域U任取1个点，则该点在区域V的概率为

π

8π

=

1

8

，
随机变量X的可能取值为：0，1，2，3．
P（X=0）=（1-

1

8

）³=

343

512

，
P（X=1）=

C

1 3

•(

1

8

)•(1-

1

8

)2=

147

512

，
P（X=2）=

C

2 3

(

1

8

)2•(1-

1

8

)=

21

512

，
P（X=3）=

C

3 3

•(

1

8

)3=

1

512

，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	343 512	147 512	21 512	1 512

∴X的数学期望：EX=0×

343

512

+1×

147

512

+2×

21

512

+3×

1

512

=

3

8

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．