Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

(1)证明详见解析；（2）.

试题分析：(1) 由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC，由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，所以BC⊥平面PCD，那么PC⊥BC；（2）利用等积法，先求出棱锥的体积V＝S_△ABC·PD＝，再求出S_△PBC＝，由S_△PBC·h＝V＝，得h＝．
解：(1)证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC．      1分
由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．         3分
又PD∩DC＝D， PD，DC 平面PCD，
∴ BC⊥平面PCD．         5分
∵ PC 平面PCD，故PC⊥BC．           7分
 
(2)连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．
∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°．   8分
由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S_△ABC＝1．  9分
由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积
V＝S_△ABC·PD＝．                        10分
∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC．         ....11分
又∴PD＝DC＝1，∴PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，
得△PBC的面积S_△PBC＝．                 .. ..12分
∵V_{A - PBC}＝V_{P - ABC}，
∴S_△PBC·h＝V＝，得h＝．             .13分
故点A到平面PBC的距离等于．              14分