Question

已知函数y=f（x）定义域为（-π，π），且函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，当x∈（0，π）时，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx，（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（3^0.3），b=f（log_π3），c=f（-log₃9），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、a＞b＞c
• B、b＞a＞c
• C、c＞b＞a
• D、c＞a＞b

Answer 1

分析：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，可得函数f（x）的图象关于y轴得出，即函数f（x）是偶函数．
由于当x∈（0，x）时，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx．利用导数的运算法则可得f′(x)=-f′(

π

2

)cosx-

π

x

，令x=

π

2

，得到f′(

π

2

)=-2．x∈（0，π）时可得f′(x)=2cosx-

π

x

，进而得到函数f（x）在区间（0，π）上单调递减．由于c=f（-log₃9）=f（-2）=f（2），再比较2，3^0.3，log_π3的大小即可得出．

解答：解：∵函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，
∴函数f（x）的图象关于y轴得出，即函数f（x）是偶函数．
∵当x∈（0，x）时，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx，
∴f′(x)=-f′(

π

2

)cosx-

π

x

，
令x=

π

2

，则f′(

π

2

)=-2．
∴f′(x)=2cosx-

π

x

＜0，
∴函数f（x）在区间（0，π）上单调递减．
∵c=f（-log₃9）=f（-2）=f（2），
2＞3

1

2

＞3^0.3＞1＞log_π3＞0，
∴f（2）＜f（3^0.3）＜f（log_π3）．
又a=f（3^0.3），b=f（log_π3），
∴b＞a＞c．
故选：B．

点评：本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性，属于难题．