Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₃=7，a₅+a₇=26．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）若m=

2an

2n+2

，数列{b_n}的满足关系式b_n=

1         (n=1) bn-1+m(n＞)

，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₃=7，a₅+a₇=26，利用数列的通项公式，建立方程组，求得首项与公差，即可求a_n及S_n；
（Ⅱ）根据m=

2an

2n+2

=2^n-1，当n＞1时，bn-bn-1=2n-1，利用叠加法，可求数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，因为a₃=7，a₅+a₇=26，
所以有

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁=3，d=2，（3分）
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；   （5分）
∴S_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）（7分）
（Ⅱ）∵m=

2an

2n+2

=2^n-1，（8分）
∴当n＞1时，bn=bn-1+2n-1，即bn-bn-1=2n-1，
所以bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1) =1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1，（13分）
当n=1时，b₁=1也满足上式，所以数列{b_n}的通项公式b_n=2ⁿ-1．（14分）

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查叠加法，解题的关键是基本量法建立方程组．