Question

已知定义在R上偶函数f（x）且f（1）=0，当x＞0且x≠1时有

xf(x)-f(x)

x2

＞0，则不等式xf（x）＞0解集为

{x|x＞1或-1＜x＜0}

．

Answer 1

分析：由x＞0时有

xf(x)-f(x)

x2

＞0，得（x-1）f（x）＞0；再结合其为偶函数以及f（1）=0画出函数的大致图象，结合图象即可得到结论．

解答：解：因为x＞0时有

xf(x)-f(x)

x2

＞0，
得：xf（x）-f（x）＞0⇒（x-1）f（x）＞0⇒
x＞1时f（x）＞0，
当0＜x＜1时．f（x）＜0；
再结合偶函数f（x）且f（1）=0可得大致图象为：
由图得：xf（x）＞0⇒x＞1或-1＜x＜0．
故答案为：{x|x＞1或-1＜x＜0}．

点评：本题主要考察函数奇偶性的应用．解决本题的关键在于根据条件画出函数的大致图象，进而求出结论．