Question

6．已知a为实数，A为不等式x²-（2a+1）x+（a+2）（a-1）≥0的解集，B为不等式x²-a（a+1）x+a³＜0的解集．
（1）用区间表示A和B；
（2）是否存在实数a，使A∪B=R？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）通过因式分解先求出集合A，讨论a的大小求出集合B；（2）假设存在，得到不等式组无解，从而证出不存在．

解答 解：（1）∵x²-（2a+1）x+（a+2）（a-1）≥0，
∴（x-a-2）（x-a+1）≥0，
∵a-1＜a+2，
∴A=（-∞，a-1]∪[a+2，+∞）；
∵x²-a（a+1）x+a³＜0，
∴（x-a）（x-a²）＜0
∴B=$\left\{\begin{array}{l}{（a{，a}^{2}），当a＜0或a＞1时}\\{∅，当a=0或a=1时}\\{{（a}^{2}，a），当0＜a＜1时}\end{array}\right.$；
（2）假设存在实数a，使A∪B=R，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＜a-1}\\{{a}^{2}＞a+2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＜a-1}\\{a＞a+2}\end{array}\right.$，无解，
∴不存在实数a，使A∪B=R．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的解法，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．