Question

【题目】已知函数定义在上且满足下列两个条件:

①对任意都有;

②当时,有，

（1）求，并证明函数在上是奇函数；

（2）验证函数是否满足这些条件；

（3）若，试求函数的零点.

Answer 1

【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）.

【解析】试题分析：

（1）对选取特殊值验证可得结论．（2）求出函数的定义域，然后对条件①②分别进行验证可得函数满足这些条件．（3）根据单调性的定义和函数为奇函数可证得在上单调递减，由得故，再根据函数的单调性可得，可求得为函数的零点．

试题解析：

（1）令x=y=0，则

∴．

令，则

∴，

所以函数在（－1，1）上是奇函数.

（2）由得，所以函数的定义域为（-1，1）．

① ．

②时， ，

∴ ，

∴．

故函数是满足这些条件.

（3）设，

则

∵,

∴,,

由条件②知，

∴，

∴,

故在(-1,0)上为减函数．

由奇函数性质可知, 在（0，1）上仍是单调减函数.

∴在(-1,1)上单调递减．

，

．

由得

∴，

整理得

解得，

又，

．

故函数的零点为．