Question

已知椭圆：（）的离心率，直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆，圆心为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当圆与轴相切的时候，求的值；
（Ⅲ）若为坐标原点，求面积的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.

解析试题分析：（Ⅰ）∵椭圆的离心率
∴............................1分
解得............................2分
故椭圆的方程为.................3分
（Ⅱ）联立方程可得：得.........................5分
即的坐标分别为........................6分
∵圆的直径为，且与轴相切
∴，得（∵）............8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
的面积......................9分

=1...................10分
当且仅当即时，等号成立.....................11分
故的面积的最大值为1..................12分
考点：椭圆的简单性质；圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用；基本不等式。
点评：充分理解圆C与y轴相切的含义是做本题的关键。要满足圆C与y轴相切也就是满足M点的纵坐标与横坐标相等。