Question

已知正项数列的前项和为，且和满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设,求的前项和；
(3)在(2)的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）整数的最大值为7.

试题分析：（1）用代替等式中的，得到，两式相减并化简得到，进而依题意可得，进而由等差数列的定义及通项公式可得数列的通项公式；（2）由（1）中求出的通项公式得到，从而根据裂项求和的方法可得到；（3）对任意，都成立，等价于，只需要求出数列的最小项的值即可，这时可用的方法来探讨数列的单调性，从而确定，最后求解不等式，从而可确定整数的最大值.
试题解析：∵①
∴②
①－②得
即
化简得
∵
∴
∴是以1为首项，2为公差的等差数列
∴
(2)
∴
(3)由(2)知

∴数列是递增数列
∴
∴
∴整数的最大值是.项和与通项公式的关系；2.等差数列的通项公式；3.裂项求和的方法；4.数列最小项的求法.