Question

已知函数f(x)=，g(x)=alnx，a∈R．
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)-g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值ψ(a)的解析式；
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的ψ(a)，证明：当a∈(0，+∞)时，ψ(a)≤1．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
由已知得，解得，
∴两条曲线交点的坐标为(e²，e)，
切线的斜率为，
∴切线的方程为y-e=(x-e²)。
(Ⅱ)由条件知，
∴，
(i)当a＞0时，令h′(x)=0，解得x=4a²，
∴当0＜x＜4a²时，h′(x)＜0，h(x)在(0，4a²)上递减；
当x＞4a²时，h′(x)＞0，h(x)在(4a²，+∞)上递增，
∴x=4a²是h(x)在(0，+∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点，
∴最小值ψ(a)=h(4a²)=2a-aln4a²=2a(1-ln2a)；
(ii)当a≤0时，，h(x)在(0，+∞)上递增，无最小值，
故h(x)的最小值ψ(a)的解析式为ψ(a)=2a（1-ln 2a）(a＞0)．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知ψ(a)=2a（1-ln 2-lna），
则，
令ψ′(a)=0，解得，
当时，ψ′(a)＞0，∴ψ(a)在上递增；
当时，ψ′(a)＜0，∴ψ(a)在上递减，
∴ψ(a)在处取得最大值。
∵ψ(a)在（0，+∞）上有且只有一个极值点，所以也是ψ(a)的最大值，
∴当a∈(0，+∞)时，总有ψ(a)≤1．