Question

如图，四棱锥P-ABCD，△PAB≌△CBA，在它的俯视图ABCD中，BC=CD，AD=1，∠BCD=∠BAD=60°．
（1）求证：△PBC是直角三角形；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）要证明：△PBC是直角三角形，我们可以根据，△PAB≌△CBA，BC=CD，AD=1，∠BCD=∠BAD=60结合线面垂直的定义，得到BC⊥PB即可；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积，我们可以根据已知，分别得到PA为棱锥的高，底面ABCD的面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（1）由已知，点P底面ABCD上B投影是点A，所以PA⊥ABCD（2分）
因为AB、BC?ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC（3分）
因为△PAB≌△CBA，所以∠ABC=∠BAP=90°，AB⊥BC（5分）
因为PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，（6分）
所以BC⊥PB，△PBC是直角三角形（7分）
（2）连接BD，因为BC=CD，∠BCD=60°，所以△BCD是等边三角形（8分）
在△ABD中，根据多边形内角和定理计算得∠ADB=90°（9分）
又因为∠BAD=60°，所以BD=

3

AD=

3

所以S△ABD=

3

2

，S△BCD=

3

4

BD2=

3 3

4

，（11分）
所以S_ABCD=S_△ABD+S_△BCD=

5 3

4

（12分）
又PA=BC=BD=

3

，
所以，四棱锥P-ABCD的体积
V=

1

3

•PA•SABCD=

1

3

•

3

•

5 3

4

=

5

4

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积及棱锥的结构特征，熟练掌握特殊三角形（等边、直角、等腰等）中所隐含的垂直条件，分析棱锥中高，底面积等关键几何量，是解答本题的关键．