Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，若，证明：当时， 的图象恒在的图象上方；

（3）证明： .

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为及，减区间为；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）时， ， ，设，求出函数的导数，利用导数性质推导出恒成立，由此能证明的图象恒在图象的上方；（3）由，设，求出函数的导数，从而，令，得，从而证明结论成立即可.

试题解析：（1）当时，，则，

令，

故的单调增区间为及，减区间；

（2）当时，，令，

则，

当时，，递减；当时，，递增。

故，当时，，即恒成立，

所以的图象恒在的图象上方。

（3）由（2）知，即，

令，则，即，