Question

曲线C上任意一点到E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，

PA

•

PF

=0．
（1）求曲线C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）求曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为3

15

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，b=

62-42

=

20

，由此可知所求的椭圆方程．
（2）由已知A（-6，0），F（4，0），设点P的坐标为（x，y），则

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0.

则2x2+9x-18=0，解之得x=

3

2

，或x=-6，由此可推导出点P的坐标为(

3

2

，

5 3

2

)；
（3）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为x²+y²=36，直线l的方程为x=

3

2

，圆心到l的距离d=

3

2

，所以AB=2

r 2-d2

=2

62-( 3 2 )2

=2×

3

2

15

，由此可推导出所求的直线l的方程．

解答：解：（1）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．
所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半轴b=

62-42

=

20

，
所以所求的椭圆方程为

x2

36

+

y2

20

=1；
（2）由已知A（-6，0），F（4，0），设点P的坐标为（x，y）
则

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)
由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0.

则2x2+9x-18=0，解之得x=

3

2

，或x=-6，
由于y＞0，所以只能取x=

3

2

，于是y=

5

2

3

，
所以点P的坐标为(

3

2

，

5 3

2

)；
（3）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为x²+y²=36，
若过P的直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x=

3

2

，
这时，圆心到l的距离d=

3

2

，
所以AB=2

r 2-d2

=2

62-( 3 2 )2

=2×

3

2

15

，
符合题意；
若过P的直线l不与x轴垂直，设其斜率为k，
则直线l的方程为y-

5 3

2

=k(x-

3

2

)，
即2kx-2y+5

3

-3k=0
这时，圆心到l的距离d=

|5 3 -3k|

4k2+4

，
所以MN2=4(r2-d2)=4[62-(

|5 3 -3k|

4k2+4

)2]=(3

15

)2，
化简得，10

3

k-22=0，所以k=

11

5 3

，=

11 3

15

所以直线l的方程为11

3

x-15y+21

3

=0，
综上，所求的直线l的方程为x=

3

2

，或11

3

x-15y+12

3

=0．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．