Question

已知n是正整数，在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，在数列{b_n}中，b₁=a₁，
当n≥2时，=++…+．
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）求-的值：
（III）当n≥2时，证明：．

Answer 1

解：（I）∵a_n+1=2a_n+1，
两边同加1得，a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1
（II）∵，b₁-a₁=1
∴=-1
∴当n=1时，=-1
当n≥2时，
∵=
∴===
∴=0
综上所述，当n=1时=-1
当n≥2时=0．
（III）由（II）知：b₁=a₁=1，，即b₂=a₂=3．
当n≥2时，=0，即
∴当n≥2时，
=
=
==2×
=2×（）
=2×（1+）
＞2（1+）
=2[1+]=3-．
∴当n≥2时，．
分析：（I）将a_n+1=2a_n+1两端同加上1，整理，构造出等差或等比数列，进行解决．
（II）根据已知写出的表达式，再考虑作差．注意对n=1的讨论．
（III）将变形为，除首尾两项外，中间项根据（Ⅱ）的结果，进行代换，同时要注意放缩法在过程中适时、适当的适用．
点评：本题考查等比数列的定义，通过对递推式变形，构造出特殊的数列来解决问题的能力，计算能力，以及分析问题解决问题的能力．（I）的两边加一个合适的常数的方法适用于形如：已知a_n+1=pa_n+q（pq≠0），求a_n．（III）虽的分子分母具有明显的对应特征，但若把目光放在对（k=1，2，…，n）的处理上，则使问题脱离已经挖掘出的新信息（Ⅱ），走向偏离．因此本题同时要求获取信息，灵活综合分析解决问题的能力．