Question

（2011•丰台区二模）已知等比数列{a_n}中，a₂=9，a₅=243．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=

an，(n为偶数) log3an (n为奇数)

求数列{b_n}的前100项的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等比数列的性质可知

a5

a2

=q3，列出方程即可求出q的值，利用

a2

q

=a1即可求出a₁的值，即可得到通项公式；
（Ⅱ）先根据所求数列{a_n}的通项公式分偶数项和奇数项分别求出数列{b_n}的通项公式；再分组求和即可．

解答：解：（Ⅰ）因为a₂=9，a₅=243．
∴

a5

a2

=

243

9

=q3=27，解得q=3．
又a₁=

a2

q

=

9

3

=3．
所以：通项公式a_n=3ⁿ．
（Ⅱ）因为等比数列{a_n}，所以偶数项构成首相为a₂=9，公比为3²=9的等比数列．
因为 log3a2k+1-log3a2k-1=log32•32k-log32•32k-2=log3

2•32k

2•32k-2

=2（k∈N），
所以 奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列．
S₁₀₀=b₁+b₂+…+b₉₉+b₁₀₀=（log₃a₁+log₃a₃+…+log₃a₉₉）+（a₂+a₄+…+a₁₀₀）=(50×1+

50×49

2

×2)+

9(1-950)

1-9

=

1

8

•951+2498

7

8

所以数列{b_n}的前100项的和是

1

8

•951+2498

7

8

．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．