Question

已知函数f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a为常数）
（1）是否存在实数a，使函数f（x）是R上的奇函数，若存在求出来，若不存在，也要说明理由．
（2）探索函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明．
（3）当a=0时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）f（x）的定义域为R，根据奇函数的性质，可知f（0）=0，求出a的值，再根据奇函数的定义，进行验证，即可得到答案；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化简到能直接判断符号为止，利用x₁＜x₂，判断出f（x₁）＞f（x₂），利用函数单调性的定义，即可证得函数f（x）为R上的单调递减函数；
（3）方法一：根据a=0，求出y=f（x）的解析式，从而用y表示出2^x，再利用指数的性质2^x＞0，即可列出关于y的不等式，求解不等式即可得到y的取值范围，从而得到函数f（x）的值域．
方法二：根据a=0，求出f（x）的解析式，利用分离常数法，可得f（x）=-1+

1

2x+1

，根据2^x＞0，依次求解即可得到-1+

1

2x+1

的取值范围，从而得到函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a为常数），
∴函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，即

a

2

-

20

20+1

=0，
∴

a

2

-

1

2

=0，
∴a=1，
又∵当a=1时，f（x）=

1

2

-

2x

2x+1

=

1-2x

2(2x+1)

的定义域为R，且对∈R，又f（-x）=

1-2-x

2(2-x+1)

=

2x-1

2(2x+1)

=-f（x），
∴存在a=1，使函数f（x）R上的奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

a

2

-

2x1

2x1+1

-

a

2

+

2x2

2x2+1

=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

，
∵y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，
又2x2+1＞0，2x1+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是R上的减函数；
（3）方法一：
∵函数f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a为常数），
∴当a=0时，f（x）=-

2x

2x+1

=-

2x+1-1

2x+1

=-1+

1

2x+1

，得2^x=

-y

y+1

，
∵2^x＞0，
∴

-y

y+1

＞0，即y（y+1）＜0，
∴-1＜y＜0，
故函数f（x）的值域为（-1，0）．
方法二：
∵函数f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a为常数），
∴当a=0时，f（x）=-

2x

2x+1

=-

2x+1-1

2x+1

=-1+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-1＜-1+

1

2x+1

＜0，
故函数f（x）的值域为（-1，0）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数的单调性的判断与证明．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）之间的关系．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．利用f（0）=0，是解决本题的关键．属于中档题．