Question

f（x）=

x+1，x≤0 log2x，x＞0

，函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为

{-3，

1

4

，-

1

2

，

2

}

．

Answer 1

分析：函数y=f[f（x）]+1的零点，即求方程f[f（x）]+1=0的解，下面分：当x≤-1，-1＜x≤0，0＜x≤1，x＞1时4中情况，分别代入各自的解析式求解即可．

解答：解：当x≤-1时，f（x）=x+1≤0，
∴f[f（x）]+1=x+1+1+1=0，∴x=-3；
当-1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0，
∴f[f（x）]+1=log₂（x+1）+1=0，∴x=-

1

2

；
当0＜x≤1时，f（x）=log₂x≤0，
∴f[f（x）]+1=log₂x+1+1=0，∴x=

1

4

；
当x＞1时，f（x）=log₂x＞0，
∴f[f（x）]+1=log₂（log₂x）+1=0，∴x=

2

所以函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为：{ -3，

1

4

，-

1

2

，

2

}
故答案为：{ -3，

1

4

，-

1

2

，

2

}．

点评：本题考查函数的零点、方程的解法以及分类讨论的思想．属基础题．