Question

已知函数f（x）=2cos²ωx-1+2

3

cosωxsinωx（0＜ω＜1），直线x=

π

3

是f（x）图象的一条对称轴．
（Ⅰ）试求ω的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移

2π

3

个单位长度得到，求函数g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于 函数f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），直线x=

π

3

是f（x）图象的一条对称轴，故有2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，再由0＜ω＜1，可得ω 的值．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=2sin（x+

π

6

），根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos（

1

2

x），由 0≤x≤

π

2

，利用正弦函数的定义域和值域求得函数g（x）取得最值．

解答：解：（Ⅰ）由于 函数f（x）=2cos²ωx-1+2

3

cosωxsinωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
直线x=

π

3

是f（x）图象的一条对称轴，故有f（

π

3

）为函数f（x）的最值，
故有 2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即ω=

3k+1

2

．
再由0＜ω＜1，可得ω=

1

2

．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=2sin（x+

π

6

），把y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，
可得函数y=2sin（

1

2

x+

π

6

）的图象，再向左平移

2π

3

个单位长度，
可得g（x）=2sin[

1

2

（x+

2π

3

）+

π

6

]=2sin（

1

2

x+

π

2

）=2cos（

1

2

x） 的图象，
由 0≤x≤

π

2

，可得0≤

1

2

x≤

π

4

，故当

1

2

x=0时，函数g（x）取得最大值为2，
当

1

2

x=

π

4

时，函数g（x）取得最小值为

2

．
故函数g（x）在[0，

π

2

]上的最大值为2，和最小值为

2

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．