Question

定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在[0，2]上的图象如图所示，则不等式f（x）+f（-x）＞x的解集为

[-2，1）

．

Answer 1

分析：根据图形可知，函数图象过（2，0）和（0，1）两点，设出一次函数f（x）的解析式为y=kx+b，把两点坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出函数f（x）在[0，2]上的解析式，又函数为偶函数，得到f（-x）=f（x），把不等式变形后，将函数f（x）的解析式代入得到关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集得到x的范围；同理当x属于[-2，0]时，根据函数为偶函数，关于y轴对称，得到此时函数图象过（-2，0）和（1，0），设出函数f（x）的解析式为y=mx+n，将两点坐标代入确定出m与n的值，得到函数解析式，代入不等式，可得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，综上，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．

解答：解：当x∈[0，2]时，由图形可知函数图象过（2，0）和（0，1），
设f（x）=kx+b，把两点坐标代入得：

2k+b=0 b=1

，
解得：

k=- 1 2 b=1

，∴f(x)=-

x

2

+1，又函数为偶函数，得到f（-x）=f（x），
∴不等式变为2f（x）＞x，即2(-

x

2

+1)＞x，解得0≤x＜1；
当x∈[0，2]时，由f（x）在[-2，2]上为偶函数可知：函数图象过（-2，0）和（0，1），
设设f（x）=mx+n，把两点坐标代入得：

-2m+n=0 n=1

，
解得：

m= 1 2 n=1

，∴f(x)=

x

2

+1，又函数为偶函数，得到f（-x）=f（x），
∴不等式变为2(

x

2

+1)＞x，解得-2≤x≤0，
综上，原不等式的解集为[-2，1）．
故答案为：[-2，1）

点评：本题考查了函数的图象、性质及其他不等式的解法，学生做题时注意利用偶函数的性质f（-x）=f（x），以及偶函数图象关于y轴对称的性质，注重分类讨论思想的应用．