Question

已知某程序框图如图所示
①写出y=f（x）的表达式
②若f（x）-m²+m≥0对于一切x∈R均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：①根据图中的条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P是否成立，选择不同的执行框（A框、B框），利用分段函数表示出所求即可．
②根据①中求出的函数，直接求出f（x）在R上的最小值，不等式f（x）-m²+m≥0对于一切x∈R均成立，即为m²-m≤f（x）对于一切x∈R恒成立，即m²-m≤f（x）_min．从而建立关于m的不等关系，则实数m的取值范围可求．

解答：解：①根据流程图可知是条件结构
算法执行到判断框给定的条件P是否成立，选择不同的执行框（A框、B框），
故可用分段函数表示y=f（x）=

2x(x+1)+3，x≤-1 24x+4 22x ，x＞-1

；
②由f（x）-m²+m≥0，得m²-m≤f（x）．
不等式f（x）-m²+m≥0对于一切x∈R均成立，
即为m²-m≤f（x）对于一切x∈R恒成立，即m²-m≤f_mix（x）．
对于f（x）=

2x(x+1)+3，x≤-1 24x+4 22x ，x＞-1

，当x≤-1时，是减函数，故x≤-1时，f（x）≥f（-1）=3；
当x＞-1时，f（x）=

24x+4 22x

=

22x+ 4 22x

≥

2•(22x• 4 22x ) 1 2

=2，
故x＞-1时，f（x）≥2（当x=

1

2

时取等号）
∴函数f（x）在R上的最小值为2，即f（x）_min=2．
所以m²-m≤2，解得-1≤x≤2．
所以，若f（x）-m²+m≥0对于一切x∈R均成立的实数m的取值范围[-1，2]．

点评：本题主要考查了条件结构，以及分段函数，如果将程序摆在我们的面前时，我们要从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．本题的②实则是分离变量的解题思想，属于基础题．