Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a，b∈R），令h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若1和2是函数h（x）的两个极值点，求a，b的值；
（Ⅱ）当a=

1

2

，b≥2时，若对任意两个不相等的实数x₁，x₂∈[1，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导h′（x），由1和2为函数h（x）的两极值点，得h′（1）=0，h′（2）=0，联立方程解出即可，注意检验；
（Ⅱ）不妨设x₁＞x₂，利用函数f（x），g（x）的单调性去掉不等式中的绝对值符号可转化为f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），从而说明h（x）在[1，2]上单调递增，故有h′（x）=

1

x

+x-b≥0成立，进而转化函数最值处理；

解答：解：（Ⅰ）h（x）=lnx+ax²-bx，h′（x）=

1

x

+2ax-b，
因为1和2为函数h（x）的两极值点，
所以有

2a-b+1=0 4a-b+ 1 2 =0

，解得

a= 1 4 b= 3 2

，经检验满足条件，
所以a=

1

4

，b=

3

2

；
（Ⅱ）不妨设x₁＞x₂，因为f（x）=lnx在[1，2]上单调递增，
所以|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），
又g（x）=

1

2

x²-bx=

1

2

（x-b）²-

b2

2

，且b≥2，则g（x）在[1，2]上单调递减，
所以|g（x₁）-g（x₂）|=g（x₂）-g（x₁），
所以|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|?f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
h（x）在[1，2]上单调递增，则h′（x）=

1

x

+x-b≥0成立，得b≤(

1

x

+x)min=2，
又b≥2，所以b=2．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．