Question

设函数f（x）=

2x2+2x

x2+1

，函数g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）y=

2x2+2x

x2+1

=

2(x2+1)+2x-2

x2+1

=2+

2(x-1)

x2+1

，
令x-1=t，则x=t+1，t∈[-1，0]，y=2+

2t

t2+2t+2

，
当t=0时，y=2；当t∈[-1，0），y=2+

2

t+ 2 t +2

，
由对勾函数的单调性得y∈[0，2），故函数在[0，1]上的值域是[0，2]；
（2）f（x）的值域是[0，2]，要g（x₀）=f（x₁）成立，则[0，2]⊆{y|y=g（x），x∈[0，1]}
①当a=0时，x∈[0，1]，g（x）=5x∈[0，5]，符合题意；
②当a＞0时，函数g（x）的对称轴为x=-

5

2a

＜0，故当x∈[0，1]时，函数为增函数，则g（x）的值域是[-2a，5-a]，由条件知[0，2]⊆[-2a，5-a]，∴

a＞0 -2a≤0 5-a≥2

?0＜a≤3；
③当a＜0时，函数g（x）的对称轴为x=-

5

2a

＞0．
当0＜-

5

2a

＜1，即a＜-

5

2

时，g（x）的值域是[-2a，

-8a2-25

4a

]或[5-a，

-8a2-25

4a

]，
由-2a＞0，5-a＞0知，此时不合题意；当-

5

2a

≥1，即-

5

2

≤a＜0时，g（x）的值域是[-2a，5-a]，
由[0，2]⊆[-2a，5-a]知，由-2a＞0知，此时不合题意．
综合①②③得0≤a≤3．