Question

已知f（x）=x|x-a|-2，若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：当x=0时，f（x）=-2，此时满足条件，当x∈（0，1]时，f（x）＜0可转化为x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，构造函数 g(x)=x-

2

x

，(x∈(0，1])；h(x)=x+

2

x

(x∈(0，1])，利用导数法求出两个函数的最值，可得实数a的取值范围．

解答：解：①当x=0时，显然f（x）＜0成立，此时，a∈R
②当x∈（0，1]时，由f（x）＜0，可得x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，
令 g(x)=x-

2

x

，(x∈(0，1])；h(x)=x+

2

x

(x∈(0，1])
∵g′(x)=1+

2

x2

＞0恒成立，
∴g（x）是单调递增，可知[g（x）]_max=g（1）=-1
∵h′(x)=1-

2

x2

＜0恒成立，
∴h（x）是单调递减，可知[h（x）]_min=h（1）=3
此时a的范围是（-1，3）
综合①、②得：a的范围是（-1，3）．

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，恒成立问题一般要将问题转化为函数的最值问题，合理构造函数是解答的关键．